Race for Majorana I

昨天从Boston回来，感觉就是放了一周的假，心思还散得有点收不回来。March meeting上照例是无穷多的报告，真正有料的也照例寥寥无几。今年在我看来最引人注目的当属周一Leo Kouwenhoven宣布实验上观察到固体系统中的Majorana费米子。作为在这个题目上灌过一点水，并且以后可以预见的时间内还要继续往里灌水讨生活的人，来给大家八卦一下Majorana fermion这个领域的来龙去脉，题目就叫Race for Majorana。整个故事虽然没有什么惊心动魄，但在作者看来还算曲径通幽，看看源自于物理学家纯粹数学想象的理论怎么逐步变成现实，也是理论物理的一种别样魅力。

故事的开头是传奇的意呆利物理学家Ettore Majorana。他在1937写下了让他名留史册的Majorana equation，用来描写中性的相对论性费米子。然后过了一年，他就消失了……对，消失了。他从帕勒莫搭上了一条去那不勒斯的船，此后再也没有人见过他。此公虽然天纵奇才，但著作极少，部分原因是他太超脱了，写文章极懒，对发表自己的结果抢credit完全不care……不禁让人觉得这真是典型的意呆利作风。然后几十年过去了，Majorana方程描述的粒子和他本人一样飘渺，虽然很多人（包括Majorana自己）猜想中微子是Majorana fermion，但到现在还是悬而未决。

另一条线要等到50多年之后，开始于看起来跟高能物理毫无关联的低能凝聚态世界。分数量子Hall效应发现以后没多久，理论家就意识到里面的准粒子激发是所谓的Abelian anyons。这些anyon具有奇异的统计性质：交换两个全同的anyon，整个体系的波函数会得到一个相位θ。玻色子和费米子分别对应于θ为0和π的特殊情形。既然有Abelian anyons，那么做理论的本能就是去推广到non-Abelian的情况，能不能让这个交换导致的”相位”是一个矩阵？ 答案当然是yes。 这个工作同时有两组人完成：一组是Greg Moore和Nick Read，写了一篇数十页长文，用共形场论构造了一类最简单的non-Abelian分数Hall态，而他们所用的共形场论正好是1+1维的Majorana field theory。所以不难想象这种新的分数Hall态和Majorana fermion关系十分密切，虽然在Moore-Read的工作中这一联系还停留在比较数学的层面上。另一组是文小刚老师——他只有一个人在战斗——用了一种完全不同的办法（“部分子”）构造了一大类non-Abelian态。不知为何文小刚的工作对non-Abelian quantum Hall state的研究影响很小，如今大部分credit都归了Moore和Read。

Moore和Read的构造其实非常数学化，虽然他们的办法现在已经满大街，在当时应该还算曲高和寡。理论家想要研究一个问题，做的第一件事情通常是写下哈密顿量或者拉格朗日量，然后就猛抽脑仁去把这个哈密顿解出来。但是分数Hall效应的研究完全不是这个路数：我们也可以写下哈密顿量作为equation number one, 但是下面除了干瞪眼就不知道还能干吗了。所以从Laughlin开始，做分数Hall态最有效的手段就是直接猜基态波函数。Moore和Read把这个蒙波函数的想法发扬光大：不用像Laughlin那样天才加人品，硬生生得给蒙对（虽然现在书上讲Laughlin波函数，各种motivation能写好几页，但是都有马后炮之嫌……），我们给大家提供一个receipe，只要用共形场论里的顶点算子算一下关联函数就能得到一个合格的波函数了，当然对不对那是另外的事，但是总可以argue嘛。这一由量子Hall效应研究所启发的思路后来发展为当代凝聚态的一大篇章：拓扑序。作者不怀好意的认为，其实这种基于基态波函数性质的研究策略，正好反映了我们对解多体哈密顿的无能为力，只好来个“华丽的转身”，只研究基态波函数那些所谓”universal“的，不依赖于哈密顿具体形状的性质。但是与此同时，我们还是想和物理世界发生一点关系的，于是干脆来个大的：把所有可能的波函数，按照这些普适的特性进行分类！假如我们得到了一个完整的分类表，那么不管现实中的哈密顿是多么的复杂，结果总在那个表里面（仅对那些普适性质而言）。说到这儿，作者不禁要感叹”分类“真是人类永恒的爱好……

回到正题。90年代Moore-Read提出的态也得到了更加细致的研究。比如找到了这个波函数的parent Hamiltonian，也即的确有一个Hamiltonian，它的基态是Moore-Read state，虽然这个Hamiltonian包含了极其诡异的三体相互作用，但是至少让人相信Moore-Read state不完全是Moore和Read的胡扯。另一个发现则对我们的故事非常关键：Moore-Read波函数其实很像一个BCS超导体。正在这时，实验家们也赶上来了：在填充分数5/2上观察到了新的分数Hall平台。5/2完全不能用已经发展的颇为成熟的Laughlin波函数来解释，Moore-Read态终于派上了用场：它所对应的填充分数可以是5/2。虽然除此之外没有更多的证据，但在分数Hall效应的研究中经常是这种两眼一抹黑，逮到什么是什么的状况。当然除了Moore-Read态，还有其它一些候选，这儿就不去细讲了。

然后就到了21世纪。Read和他的学生Green有了个很巧妙的想法：既然Moore-Read波函数很像一个BCS超导体，那为什么不干脆就去BCS超导体系里面找？跟复杂得吓人的分数Hall体系比起来（强磁场，强关联……），超导体可是容易多了，大家可以开心地解十分简单的BCS Hamiltonian（很多时候就是对角化一些2×2的矩阵，手算就可以），可以二次量子化，不用像FQHE里面非得很吃力的写下所有电子的坐标，加上省略号无数。所以像我这样的搓研究生也可以往里踩上一脚了，Read和Green真是善莫大焉……废话少说，Read & Green研究了一个最简单的超导体模型：无自旋的费米子。因为没有自旋，所以费米子的Cooper配对不能像通常的金属那样是s波（s波意味着这两个费米子没有相对运动，基本上就是碰在一块），而只能绕着跑，以更大的角动量来避免两个配对的费米子碰到一块。他们考虑了最简单的p波配对，然后发现几乎所有Moore-Read态的性质，都能在这个模型里找到。尤为值得一提的是，Read和Green指出所有这些性质的关键，都在于p波超导的低能激发（所谓Bogoliugov准粒子）是Majorana费米子！这一点在Moore-Read的处理中已经能见端倪，但还是要到了Read和Green的工作才算是彻底理解了。

下面的故事就可以暂时脱开分数Hall态了。Read和Green的工作很漂亮，深受广大不懂共形场论的研究生的喜爱。但是大家马上要问了：p波超导体在哪里呢？无自旋的费米子又是什么玩意？Read和Green当然也知道这些问题。电子虽然有自旋，但是它们的配对仍然可以是p波，叫做自旋三重态(spin triplet)配对。尽管不像s波那么大路货，但是三重态配对也早就已经问世了，连诺奖都发了好几个：氦3的超流态就是这样一种配对态。此外还有其它一些材料也被确认是p波配对，例如一些重费米子超导体，以及铷氧化物(Sr2RuO4)。但所有这些体系都有一个问题：他们很罕见，用行话说叫too exotic。超流氦3算是里面大家最喜闻乐见的了，转变温度是1mK。其它固体材料有些转变温度稍微高一些，但是材料制备都极其困难，例如重费米子超导体大部分都是铀化合物……你知道那是什么东西。铷氧化物号称只有日本的一个组才能做出来。理论上的研究虽然还在继续，但实验工作却是路漫漫其修远。

接着时间到了2008年，本文作者飘洋过海来到了美利坚……这是个微不足道的细节，请大家忽略。与此同时，Maryland凝聚态理论组的大佬Sankar Das Sarma (也是鄙人的老板）收到了一份来自Charles Kane和Liang Fu的预印本。Das Sarma本人在分数Hall效应和p波超导上都有很重要的工作，是这一领域的权威。Fu和Kane的论文讨论了三维拓扑绝缘体——顺便一提，当时拓扑绝缘体正要开始大红大紫，成为后面几年内凝聚态理论的主题——表面态上的超导邻近效应（proximity effect)。Fu和Kane的结论是，假如把拓扑绝缘体和普通的s波超导体放在一块，那么界面上电子的性质就非常类似于前文所提的p波超导体（准确的说，是手征p波超导体），因此也可以有Majorana fermion。这个想法的漂亮之处是利用了邻近效应产生超导配对。p波超导之所以罕见，因为常见的基于电子-声子作用的配对机制都导致s波配对，要产生p波配对需要自旋涨落那样很不简单的机制。但是s波超导体则已经是所有固体物理实验室的标配了，转变温度也比p波高很多（遗憾的是高温铜氧超导体不能用来产生Majorana fermion）。Das Sarma一开始对Fu和Kane结果的正确性有所怀疑：这么简单就能整出Majorana fermion了？假如他们是对的，那么这个思路无疑是革命性的（对这个领域而言……）。

Das Sarma于是把文章给了当时刚来到Maryland开始博后工作的Jay Sau，让他考虑一下拓扑绝缘体在这个proposal里是不是必需的。Jay Sau很快给出了答案：No! 在这里起到关键作用的是拓扑绝缘体表面态的强自旋轨道耦合。而有自旋轨道耦合的材料远不止拓扑绝缘体，还有已经被研究了数十年的各种半导体二维电子气。当然，还有一个比较微妙的地方，是拓扑绝缘体的表面态避开了因为时间反演导致的fermion doubling。在半导体里面怎么办？很简单，直接加上磁场破坏时间反演就好了！于是不到一年之后，Jay Sau和其他合作者们进一步简化了Fu和Kane的模型，去掉了拓扑绝缘体，代之以更常见的半导体材料。他们的模型是一个”三明治“：铁磁绝缘体+半导体+s波超导体。在这里面铁磁绝缘体通过邻近效应提供了所需要的塞曼磁场。说到这里可能会有人有疑问：为什么不能直接加一个真正的磁场？原因是真正的磁场除了和电子自旋直接耦合的塞曼效应，还有不请自来的轨道效应，会破坏我们想要的拓扑超导性质。这也是Jay Sau等人最开始提议当中不太令人满意的地方。后面的理论发展对此有诸多改进，我们就不一一列举了。

于是经过接近十年的发展，从分数Hall效应，到三重态配对p波超导体，到拓扑绝缘体-超导界面，最后到半导体体系，现在理论家手里终于有了一个看起来足够简单，简单到让人觉得明天就能在实验室里做出来的模型。下面要做的自然就是写proposal拿funding，然后登上飞机去游说实验家来一起玩⋯⋯