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Archive for 2012年3月

Race for Majorana III

2012年03月10日 6 条评论

这几天物理学界的最大新闻莫过于大亚湾核电站的中微子振荡实验。从去年年底开始中微子就一直占着各种科学新闻的头条,而且总是跟天然呆的意大利人有关(Majorana也是⋯⋯),直到天朝出来抢镜。作者也感到可以借一把势头,来继续吹Leo Kouwenhoven的实验工作,美其名曰固体中的中微子。

Leo Kouwenhoven的实验基于Lutchyn, Sau和Das Sarma于2010年提出的方案:把一根半导体量子线放在一块s波超导体上,通过邻近效应在量子线中诱导出p波配对。然后加上一个平行于量子线的塞曼磁场来破坏时间反演。实验上能够调节的参数是磁场的强度和半导体线中的费米能。后者是由一系列靠近量子线的电压门(voltage gate)来控制。当这两个参数满足一定的条件,量子线的两端就会出现零能量的Majorana费米子(准确的说,是一个Majorana零模)。下图是Kouwenhoven实验装置的一个示意图。

这个方案听起来相当直截了当,但是实际实现时有不少技术上的困难。我们简单讨论一下最令实验家头疼的一个问题。前面提到材料中的费米能和塞曼能必须满足一定的条件,才会在量子线两端出现Majorana费米子。因此我们必须能够控制材料中的化学势。在没有超导体的时候,这完全不是一个问题,加上一个电压,想怎么调就怎么调。但是有超导体就不一样了:金属超导材料通常有很高的电子密度,会对电磁场有强烈的屏蔽效应,可想而知调电压不再是件容易的事了。对此实验家们并没有太好的解决方案。Kouwenhevon的方法是仅仅把半导体线的一半搭在超导体上,而把控制的电压的装置搭在另一半边,这样能在一定程度上减少屏蔽效应。

现在万事具备,只待测量了。另一个问题来了:测什么好呢?大家都知道做人要低调,不要想着一口吃成胖子,因此我们一步一步来。Majorana zero mode,这三个词里有两个是形容词,确认这两个形容词描述的特点就是我们的目标。相对而言,”Majorana”这个特性有一点晦涩,解释起来已然不易,不用说要在实验上测量。”zero energy”对实验家来说倒是不陌生,有多种手段可以探测不同能量区间上的态密度。对于量子线体系,最自然的方法就是测量隧穿微分电导电导(dI/dV )。直观的说,我们可以想象把一个探针靠近量子线的一头,然后看看探针上的电子能不能跑到量子线里面去形成电流(我们需要假设探头和超导之间有个很大的势垒)。假如是普通的超导体,在探针电压很低的时候是不会出现隧穿电流的,原因是超导体有能隙,根据能量守恒,只有当探针电压超过超导能隙的时候才能让电子跑过去。但是假如有零能量的态,结果就完全不一样了:电子可以跑到这个零能态上,因而即便探针上不加电压,理论上也会有非零的隧穿电导,专门有个名字,叫“zero-bias conductance peak”,简写为ZBCP. 这是一个非常简单直接的测量,因此Leo Kouwenhoven第一步就是要看看有没有ZBCP。

需要指出的是,ZBCP可以说是Majorana零模的一个必要条件,但是不充分。在量子线中可能会有其它低能的束缚态(全部叫做Andreev bound states),假如正好非常靠近零能的话也会形成ZBCP。不过这些态的能量通常都依赖于系统的一些参数。例如大部分情况下,它们的能量会随着Zeeman场变化。因此原则上我们还是能够把Majorana零能态和普通的低能束缚态区分开来的。

尽管作者在报告现场看到了Leo展示他的实验数据,但是这一结果目前还没发表。该报告人山人海,作者费了姚明打奥胖的劲才挤进去在最后面占了一个位,也别指望能拍到什么清楚的照片。因此就给大家看一张理论计算的图,算是画饼充饥(图取自Stanescu et. al., Phys. Rev. B 84, 144522(2011)):

总结一下Leo Kouwenhoven看到的实验现象:当磁场增大到一定范围,ZBCP出现。随后当磁场继续增大到另一个阀值,ZBCP开始消失,两旁出现很小的峰,并逐渐分离开,也有人描述说ZBCP分裂为两个小一点的峰。此外,调节一下化学势,发现ZBCP在一定范围内都是存在的。因此,实验上看到了一个稳定的ZBCP。

Kouwenhoven还报告了另一个有趣的现象:假如转动磁场的方向,在某些特定的角度ZBCP就消失了。这也和理论的预期吻合。一个粗略的解释是,这里面零能态的出现非常依赖于量子线中的自旋轨道耦合。因而不难想象磁场方向改变,ZBCP也会跟着改变。事实上,只有垂直于自旋轨道耦合自旋方向的磁场才是“有效”的。考虑磁场和自旋轨道耦合平行的特殊情况,整个体系退化为一个普通超导体,ZBCP就跟着没了。

Kouwenhoven报告完之后,各路围观群众自然开始讨论这个结果。Kouwenhoven本人十分乐观,报告的总结是”Have we seen Majorana fermions? I’d say it’s a cautious yes”。不管cautious不cautious,总之是yes。但有不少人还是持怀疑态度,认为Leo Kouwenhoven有点瞎猫碰到死老鼠的感觉。这些争辩肯定要继续一段时间,直到进一步的实验确认(或证否)。作者的看法是,Majorana零模是对Kouwenhoven看到的实验现象最简单最自然的解释,根据奥卡姆剃刀原理,它就是正确的解释。因此作者显然是无可救药的乐观派。但不管怎么样,那些做Majorana费米子的凝聚态理论家都暗暗松了一口气:下面至少四五年的funding,应该都没有问题了罢⋯⋯

那么假如更仔细的测量能够确认ZBCP,下一步就是要去解决第一个定语:Majorana。这方面展开来涉及很多技术细节,作者已经没精神再写了。做一回名词党,列名词如下:(1) 分数Josephson效应 (2) 干涉实验(本质上是检测Majorana费米子的量子统计性质)。

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Brouwer不动点定理的初等证明

2012年03月4日 1条评论

校内上看到的,在这记录一下。Brouwer不动点定理通常的证明都是用同调论。John Milner给出了一个只用到微积分的初等证明,非常漂亮。准确的说他证明了所谓的“球面五毛”定理,不对是“球面无毛”。

Analyzing the hairy ball theorem

The Milnor-Rogers proof of the Brouwer fixed-point theorem

在二维的情况,有一个更加“初等”的证明,基于Sperner lemma.

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Race for Majorana II

2012年03月3日 2 条评论

看了半天,有人可能要问了:为什么你们这些搞凝聚态的对Majorana fermion这么有爱?不就是一种中性的费米子吗?对很多理论家来说,能够在凝聚态体系里找到一种高能物理学家苦觅几十年而不得的粒子本身就是一件很有意思的事情。但是如果要申请funding和拉实验家下水的话,这种脱离现实的理论家格调显然是不够的。

说到这儿,我们八卦的另一个大头,俄罗斯神人Alexei Kitaev也终于要登场了。他可算是凝聚态理论界思想家式的人物,想法极为深邃(技术上也无懈可击,可谓是数学功底和物理直觉完美结合)。在遥远的1997年,Kitaev写了一篇文章,提出可以用non-Abelian anyons来做量子计算。他的想法是,很多个non-Abelian anyon会形成一个简并的Hilbert空间,这个空间的维数随着anyon的数目指数增加,从而可以用来作为量子比特储存信息。 而anyon之间的交换(braiding)则恰好提供了比特上的量子门操作。可能有人觉得这个想法十分简单,但Kitaev的洞见在于他意识到这样实现的量子计算机比起传统的实现有一个巨大的优势:量子比特和门操作几乎都不会有任何退相干(decoherence)!如果对量子计算稍有了解的同学都知道,退相干是量子计算实现的最大障碍之一(其实之一都可以去掉)。任何量子体系都不可避免的和环境耦合,而这种无法控制的耦合对比特的影响导致比特的量子特性逐渐丧失,最后退化为一个经典比特。因为退相干在物理上几乎是无法避免的(尽管可以减少),量子计算必须要引入纠错(error correction)机制。尽管如此,最好的error correction也只能对付极少量的错误,稍微一多就完全杯具了。

而在Kitaev的设想中,anyon所张开的Hilbert空间是非局域的。任何局域的扰动都不会破坏这个Hilbert空间。这就对量子比特本身提供了近乎完美的保护,所以称为topologically protected qubit. 此外,量子门操作是通过anyon的交换实现的。交换是一个拓扑操作:它的结果不依赖于具体路径的选择。只要两个粒子被交换了,不管他们是通过一个什么样稀奇古怪,歪歪扭扭的办法交换的,只要满足一些非常一般的条件(绝热性),那么结果就是一定的。所以这套方案从计算机的硬件层面上消除了可能的退相干!而我们上篇中已经提到,超导体中的Majorana费米子就是一种non-Abelian anyon,尽管是最简单的一种。因此,寻找Majorana费米子也就是寻找拓扑量子计算机的硬件!

Kitaev的设想听起来非常高明,但假如实验上没法实现non-Abelian anyons,一切都只是纸上谈兵。Kitaev本人当然也在思索这个问题,数年后提出了几个具体的模型(在他原本提出topological quantum computation的文章中分析了non-Abelian discrete gauge theory作为non-Abelian anyon的实现)。其一是大名鼎鼎的Kitaev honeycomb model,在一个严格可解的格点模型中实现了anyon。这一模型虽然意义重大,但跟我们要谈的主旨关系并不是特别密切,因此就暂时略过不提。另一篇文章的思路再次出人意料。迄今为止我们所讨论的所有体系都是二维的,因为点粒子的分数统计(包括non-Abelian statistics)都只存在于二维空间。Kitaev则把目光投向了一维。具体来说,他考虑了Read & Green模型的一维版本:一维的p波超导体。前文已经说过,BCS超导体本质上是无相互作用体系。Kitaev自然不费吹灰之力就解出了这个模型,结果发现在p波超导体的两端会出现Majorana费米子!我们知道,在二维体系中孤立的Majorana费米子只能出现在超导涡旋(vortex)里面。制造一个涡旋在实验上并非易事,更常见的是在第二类超导体中加上磁场来产生涡旋点阵(vortex lattice)。一维体系则干净的多:哪里有边界,哪里就有Majorana费米子。因此从实验的角度,一维体系显然是一个很好的选择。

我们把时间拨回到2009年。在发现半导体二维电子气可以用来实现Majorana费米子之后,结合Kitaev的工作,一个自然的想法就是用半导体量子线加上超导体来实现一维的p波超导体。这可能是实验上最为简单可行的方案了。这时候好几个在半导体量子器件方面比较有经验的实验组都已经开始把做出Majorana费米子提上了日程,先在一维体系里找到Majorana费米子再说,尽管一维体系不能交换粒子……

Wait!一维体系没有量子统计吗?没错,每个理论物理PhD都会告诉你,没有。一维就是一根直线,粒子跑来跑去不可避免地要碰到,因此没法谈什么量子统计。玻色子和费米子本质上没有区别,因此可以把一维费米子“玻色化”。那就是说,即便在实验上找到了一维的Majorana费米子,也没法用来做量子计算。这些听起来好像都是常识,像作者这样的搓人就从来没有怀疑过这个说法的正确性。但事实证明,想当然是不行的,做理论必须像方肘子那样有充沛的质疑精神。理论家们深入思考这个问题,发现Majorana费米子的量子统计本质上并不依赖于维数,而是自然界一个基本规律的推论:所有的物理过程,都必须包含偶数个费米子。用稍微数学一点的语言,物理体系的哈密顿量必须包含偶数个费米子算符。这一听起来很傻很天真的性质,事实上有非常深远的后果(除了我们这里谈到的量子统计性质,还可以参考文小刚老师的量子多体书)。其中之一就是Majorana费米子的量子统计性质。这就让大家再次燃起了希望:也许,可能,maybe, 一维的Majorana费米子也可以交换?

我们再次发散一下思维。如前文所说,假如只有一根线,那确实是没法交换的,地方太少了。我们需要多一点地方,但是不用多到二维空间那么“多”。需要多多少?答案是再多一根,做成一个三岔路口就行了。理论家们发明了个术语叫T-junction。有了这个三岔路口,就有足够的地方把两个粒子给挪来挪去。经过仔细计算,加州大学的Jason Alicea和他的好基友们,不对,合作者们,证实了这样的方案是可行的。因此对一维体系的所有疑虑都消失了:二维系统里能做的,一维也能做。于是下面就是实验家们的race了,且听下回分解。

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Race for Majorana I

2012年03月3日 6 条评论

昨天从Boston回来,感觉就是放了一周的假,心思还散得有点收不回来。March meeting上照例是无穷多的报告,真正有料的也照例寥寥无几。今年在我看来最引人注目的当属周一Leo Kouwenhoven宣布实验上观察到固体系统中的Majorana费米子。作为在这个题目上灌过一点水,并且以后可以预见的时间内还要继续往里灌水讨生活的人,来给大家八卦一下Majorana fermion这个领域的来龙去脉,题目就叫Race for Majorana。整个故事虽然没有什么惊心动魄,但在作者看来还算曲径通幽,看看源自于物理学家纯粹数学想象的理论怎么逐步变成现实,也是理论物理的一种别样魅力。

故事的开头是传奇的意呆利物理学家Ettore Majorana。他在1937写下了让他名留史册的Majorana equation,用来描写中性的相对论性费米子。然后过了一年,他就消失了……对,消失了。他从帕勒莫搭上了一条去那不勒斯的船,此后再也没有人见过他。此公虽然天纵奇才,但著作极少,部分原因是他太超脱了,写文章极懒,对发表自己的结果抢credit完全不care……不禁让人觉得这真是典型的意呆利作风。然后几十年过去了,Majorana方程描述的粒子和他本人一样飘渺,虽然很多人(包括Majorana自己)猜想中微子是Majorana fermion,但到现在还是悬而未决。

另一条线要等到50多年之后,开始于看起来跟高能物理毫无关联的低能凝聚态世界。分数量子Hall效应发现以后没多久,理论家就意识到里面的准粒子激发是所谓的Abelian anyons。这些anyon具有奇异的统计性质:交换两个全同的anyon,整个体系的波函数会得到一个相位θ。玻色子和费米子分别对应于θ为0和π的特殊情形。既然有Abelian anyons,那么做理论的本能就是去推广到non-Abelian的情况,能不能让这个交换导致的”相位”是一个矩阵? 答案当然是yes。 这个工作同时有两组人完成:一组是Greg Moore和Nick Read,写了一篇数十页长文,用共形场论构造了一类最简单的non-Abelian分数Hall态,而他们所用的共形场论正好是1+1维的Majorana field theory。所以不难想象这种新的分数Hall态和Majorana fermion关系十分密切,虽然在Moore-Read的工作中这一联系还停留在比较数学的层面上。另一组是文小刚老师——他只有一个人在战斗——用了一种完全不同的办法(“部分子”)构造了一大类non-Abelian态。不知为何文小刚的工作对non-Abelian quantum Hall state的研究影响很小,如今大部分credit都归了Moore和Read。

Moore和Read的构造其实非常数学化,虽然他们的办法现在已经满大街,在当时应该还算曲高和寡。理论家想要研究一个问题,做的第一件事情通常是写下哈密顿量或者拉格朗日量,然后就猛抽脑仁去把这个哈密顿解出来。但是分数Hall效应的研究完全不是这个路数:我们也可以写下哈密顿量作为equation number one, 但是下面除了干瞪眼就不知道还能干吗了。所以从Laughlin开始,做分数Hall态最有效的手段就是直接猜基态波函数。Moore和Read把这个蒙波函数的想法发扬光大:不用像Laughlin那样天才加人品,硬生生得给蒙对(虽然现在书上讲Laughlin波函数,各种motivation能写好几页,但是都有马后炮之嫌……),我们给大家提供一个receipe,只要用共形场论里的顶点算子算一下关联函数就能得到一个合格的波函数了,当然对不对那是另外的事,但是总可以argue嘛。这一由量子Hall效应研究所启发的思路后来发展为当代凝聚态的一大篇章:拓扑序。作者不怀好意的认为,其实这种基于基态波函数性质的研究策略,正好反映了我们对解多体哈密顿的无能为力,只好来个“华丽的转身”,只研究基态波函数那些所谓”universal“的,不依赖于哈密顿具体形状的性质。但是与此同时,我们还是想和物理世界发生一点关系的,于是干脆来个大的:把所有可能的波函数,按照这些普适的特性进行分类!假如我们得到了一个完整的分类表,那么不管现实中的哈密顿是多么的复杂,结果总在那个表里面(仅对那些普适性质而言)。说到这儿,作者不禁要感叹”分类“真是人类永恒的爱好……

回到正题。90年代Moore-Read提出的态也得到了更加细致的研究。比如找到了这个波函数的parent Hamiltonian,也即的确有一个Hamiltonian,它的基态是Moore-Read state,虽然这个Hamiltonian包含了极其诡异的三体相互作用,但是至少让人相信Moore-Read state不完全是Moore和Read的胡扯。另一个发现则对我们的故事非常关键:Moore-Read波函数其实很像一个BCS超导体。正在这时,实验家们也赶上来了:在填充分数5/2上观察到了新的分数Hall平台。5/2完全不能用已经发展的颇为成熟的Laughlin波函数来解释,Moore-Read态终于派上了用场:它所对应的填充分数可以是5/2。虽然除此之外没有更多的证据,但在分数Hall效应的研究中经常是这种两眼一抹黑,逮到什么是什么的状况。当然除了Moore-Read态,还有其它一些候选,这儿就不去细讲了。

然后就到了21世纪。Read和他的学生Green有了个很巧妙的想法:既然Moore-Read波函数很像一个BCS超导体,那为什么不干脆就去BCS超导体系里面找?跟复杂得吓人的分数Hall体系比起来(强磁场,强关联……),超导体可是容易多了,大家可以开心地解十分简单的BCS Hamiltonian(很多时候就是对角化一些2×2的矩阵,手算就可以),可以二次量子化,不用像FQHE里面非得很吃力的写下所有电子的坐标,加上省略号无数。所以像我这样的搓研究生也可以往里踩上一脚了,Read和Green真是善莫大焉……废话少说,Read & Green研究了一个最简单的超导体模型:无自旋的费米子。因为没有自旋,所以费米子的Cooper配对不能像通常的金属那样是s波(s波意味着这两个费米子没有相对运动,基本上就是碰在一块),而只能绕着跑,以更大的角动量来避免两个配对的费米子碰到一块。他们考虑了最简单的p波配对,然后发现几乎所有Moore-Read态的性质,都能在这个模型里找到。尤为值得一提的是,Read和Green指出所有这些性质的关键,都在于p波超导的低能激发(所谓Bogoliugov准粒子)是Majorana费米子!这一点在Moore-Read的处理中已经能见端倪,但还是要到了Read和Green的工作才算是彻底理解了。

下面的故事就可以暂时脱开分数Hall态了。Read和Green的工作很漂亮,深受广大不懂共形场论的研究生的喜爱。但是大家马上要问了:p波超导体在哪里呢?无自旋的费米子又是什么玩意?Read和Green当然也知道这些问题。电子虽然有自旋,但是它们的配对仍然可以是p波,叫做自旋三重态(spin triplet)配对。尽管不像s波那么大路货,但是三重态配对也早就已经问世了,连诺奖都发了好几个:氦3的超流态就是这样一种配对态。此外还有其它一些材料也被确认是p波配对,例如一些重费米子超导体,以及铷氧化物(Sr2RuO4)。但所有这些体系都有一个问题:他们很罕见,用行话说叫too exotic。超流氦3算是里面大家最喜闻乐见的了,转变温度是1mK。其它固体材料有些转变温度稍微高一些,但是材料制备都极其困难,例如重费米子超导体大部分都是铀化合物……你知道那是什么东西。铷氧化物号称只有日本的一个组才能做出来。理论上的研究虽然还在继续,但实验工作却是路漫漫其修远。

接着时间到了2008年,本文作者飘洋过海来到了美利坚……这是个微不足道的细节,请大家忽略。与此同时,Maryland凝聚态理论组的大佬Sankar Das Sarma (也是鄙人的老板)收到了一份来自Charles Kane和Liang Fu的预印本。Das Sarma本人在分数Hall效应和p波超导上都有很重要的工作,是这一领域的权威。Fu和Kane的论文讨论了三维拓扑绝缘体——顺便一提,当时拓扑绝缘体正要开始大红大紫,成为后面几年内凝聚态理论的主题——表面态上的超导邻近效应(proximity effect)。Fu和Kane的结论是,假如把拓扑绝缘体和普通的s波超导体放在一块,那么界面上电子的性质就非常类似于前文所提的p波超导体(准确的说,是手征p波超导体),因此也可以有Majorana fermion。这个想法的漂亮之处是利用了邻近效应产生超导配对。p波超导之所以罕见,因为常见的基于电子-声子作用的配对机制都导致s波配对,要产生p波配对需要自旋涨落那样很不简单的机制。但是s波超导体则已经是所有固体物理实验室的标配了,转变温度也比p波高很多(遗憾的是高温铜氧超导体不能用来产生Majorana fermion)。Das Sarma一开始对Fu和Kane结果的正确性有所怀疑:这么简单就能整出Majorana fermion了?假如他们是对的,那么这个思路无疑是革命性的(对这个领域而言……)。

Das Sarma于是把文章给了当时刚来到Maryland开始博后工作的Jay Sau,让他考虑一下拓扑绝缘体在这个proposal里是不是必需的。Jay Sau很快给出了答案:No! 在这里起到关键作用的是拓扑绝缘体表面态的强自旋轨道耦合。而有自旋轨道耦合的材料远不止拓扑绝缘体,还有已经被研究了数十年的各种半导体二维电子气。当然,还有一个比较微妙的地方,是拓扑绝缘体的表面态避开了因为时间反演导致的fermion doubling。在半导体里面怎么办?很简单,直接加上磁场破坏时间反演就好了!于是不到一年之后,Jay Sau和其他合作者们进一步简化了Fu和Kane的模型,去掉了拓扑绝缘体,代之以更常见的半导体材料。他们的模型是一个”三明治“:铁磁绝缘体+半导体+s波超导体。在这里面铁磁绝缘体通过邻近效应提供了所需要的塞曼磁场。说到这里可能会有人有疑问:为什么不能直接加一个真正的磁场?原因是真正的磁场除了和电子自旋直接耦合的塞曼效应,还有不请自来的轨道效应,会破坏我们想要的拓扑超导性质。这也是Jay Sau等人最开始提议当中不太令人满意的地方。后面的理论发展对此有诸多改进,我们就不一一列举了。

于是经过接近十年的发展,从分数Hall效应,到三重态配对p波超导体,到拓扑绝缘体-超导界面,最后到半导体体系,现在理论家手里终于有了一个看起来足够简单,简单到让人觉得明天就能在实验室里做出来的模型。下面要做的自然就是写proposal拿funding,然后登上飞机去游说实验家来一起玩⋯⋯

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