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数列极限题之后续

2011年01月26日 留下评论

在之前一篇post里我讨论了一个数列极限问题,题目如下:设有数列a_n, b_n满足

\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}.

研究a_n/b_n的极限。题目本身不难,很容易证明极限存在并且为1。比较值得注意的是这个数列收敛速度非常快(可以估计出数列是以指数的指数这样的速度收敛的)。这个题目看起来像一个普通的高等数学练习,但实际上背景很不简单:历史上最早研究这个问题的是Gauss。可以想象,能引起了Gauss兴趣的问题必定不是泛泛。Gauss问的是:给定初始值a_0=a, b_0=b, 极限\lim_{n\rightarrow \infty}a_n是多少?他特别考虑了a=1, b=\sqrt{2}的情形。记\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=M(a, b). Gauss证明了下面的结论:

\displaystyle \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})}=\int_0^1\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^4}}

事实上,有如下更一般的结论:

\displaystyle \frac{\pi}{2M(1,y)}=K(\sqrt{y^2-1})

也即M(a, b)可以用椭圆积分来表示!K(k) 是所谓的第一类完全椭圆积分:

\displaystyle K(k)= \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}=\int_0^1 \frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}

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