首页 > Uncategorized > 数列极限问题一则

数列极限问题一则

2010年09月15日 留下评论 Go to comments

在百合数学版上看到的,问题如下:设有数列a_n, b_n满足
\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}.
研究a_n/b_n的极限。

显然的答案是\lim_{n\rightarrow \infty}b_n/a_n=1。证明如下:令x_n=b_n/a_n,那么显然有
\displaystyle x_{n+1}=\frac{2\sqrt{x_n}}{x_n+1}
由于2\sqrt{x_n}\le x_n+1,所以x_n\le 1对于所有n>1成立。此外也很容易证明x_{n+1}>x_n。因此这是一个有界递增数列,这就证明了数列\{x_n\}必有极限。这个极限的数值必为方程x=2\sqrt{x}/(x+1)的根,因此可以确定极限为1。

为了估计收敛速度,我们研究1-x_n
\displaystyle 1-x_{n+1}=\frac{(1-\sqrt{x_n})^2}{1+x_n}
\displaystyle 1-\sqrt{x_{n+1}}=\frac{(1-\sqrt{x_n})^2}{(1+\sqrt{x_{n+1}})(1+x_n)}<(1-\sqrt{x_n})^2
由最后一式得到1-\sqrt{x_n}至少是按照e^{-C 2^n}来衰减的,C是一个正常数。

Advertisements
分类:Uncategorized
  1. 还没有评论。
  1. 2011年01月26日 @ 11:26 下午

发表评论

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 更改 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 更改 )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 更改 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 更改 )

Connecting to %s

%d 博主赞过: