Notes on gapped boundaries of Abelian topological phases

2014年08月15日 留下评论

This is going to be a collection of various results on Abelian topological phases, with the focus being gapped boundaries. Part of the motivation is to make some connections between the existing mathematical literature on quadratic forms and the physical applications.

First, recall that a topological phase (unitary modular tensor category) can have a gapped boundary if and only if it contains a maximal Lagrangian subalgebra. It is also known that all such topological phases must be the Drinfeld centers of unitary fusion categories, i.e. quantum doubles. For Abelian phases (i.e. pointed categories), it means all those with gapped boundaries are essentially discrete gauge theories with an Abelian gauge group G, possibly twisted by 3-cocycles in H^3(G, U(1)). If we represent them with Abelian Chern-Simons theory, their K matrices always take the following form (up to GL equivalence):

\displaystyle \mathbf{K}=\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & \mathbf{A} \\ \mathbf{A}^{\mathrm{T}} & \mathbf{B} \end{pmatrix}

In particular, it implies that \det \mathbf{K} is a square.

We also note that time-reversal-invariant Abelian theories must have gapped boundaries. This can be shown following Levin and Stern.

First we define the time-reversal symmetry directly in Abelian Chern-Simons theory. Let us consider a general Abelian topological phase given by a \mathbf{K} matrix with dimension 2N. The time-reversal symmetry operation \mathcal{T} acts on the gauge fields as

a_I\rightarrow \mathbf{T}_{IJ}a_J.

Also, because t\rightarrow -t, time-reversal invariance implies that

\mathbf{T}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{T}=-\mathbf{K}.

For bosonic systems, we should have \mathcal{T}^2=1, which implies \mathbf{T}^2=1.

We now need to prove that there should be at least N null vectors in the theory which are mutually null. We can easily prove that \mathrm{Tr}\,(\mathbf{T})=0, and since \mathbf{T}^2=1, the eigenvalues of \mathbf{T} are \pm 1 and there must be equal number of 1 and -1. Let \mathbf{v}_i denote the eigenvectors of \mathbf{T} with +1 eigenvalue, i=1,\dots, N. We have

\mathbf{v}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{K} \mathbf{v}_j=\mathbf{v}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{T}^{\mathrm{T}} \mathbf{K} \mathbf{T}\mathbf{v}_j=-\mathbf{v}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{K} \mathbf{v}_j.

Therefore \mathbf{v}_i^{\mathrm{T}} \mathbf{K} \mathbf{v}_j=0.

Levin has argued that \mathbf{v}_i can be chosen to be integer vectors. This is always possible since this eigenspace is spanned by the columns of 1 + \mathbf{T} , a matrix with integer entries. Therefore we have found a set of null vectors. QED.

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Notes 08/15/13

2013年08月16日 留下评论
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Pythtb

2013年07月13日 留下评论

I just found this python package developed by Vanderbilt group in Rutgers. It is incredibly useful. As self-categorizing as a member of the “topological community” in condensed matter, I often need to do some band structure calculations for tight-binding models on various lattices. These are elementary ones, but sometimes a lot of work — doing Fourier transformation, calculating Berry curvatures and mistakes can easily sneak in for careless people like me. But Pythtb just kills all tight-binding model caculations — maybe not all, but at least most of them — in one shot. With a few lines of python codes you can easily build up models even with complicated lattice geometry and hoppings, solve for the dispersions and plot them nicely. For those who are interested in topological stuff, it has a lot more than one could have thought: Berry phase, Berry curvature, Wannier center, finite lattice, edge states….I feel like I’m promoting it, but it is really a wonderful piece of work. I even think one should code a GUI for it and just “draw” models on the screen.

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密码保护:Surface State of a 3D SPT

2013年06月22日 要查看留言请输入您的密码。

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闲话Majorana

2013年05月20日 1条评论

因朋友邀请写了一篇关于Majorana的科普文,比之前随便写的Race for Majorana稍微严整些。
闲话Majorana费米子

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Some useful stuff

2012年12月22日 留下评论

The online database of Vertex Operator Algebras and Modular Categories
A Catalogue of Lattices

Kac
This program can calculate almost all CFT properties of WZW models.

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Numerically Computing Pfaffian (Mathematica)

2012年11月8日 1条评论

A simple method: given a real antisymmetric matrix, its Schur decomposition yields the canonical form. Then the Pfaffian can be easily read off.

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Several interesting preprints today

2012年10月22日 留下评论
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Some good courses…

2012年07月7日 留下评论
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Race for Majorana III

2012年03月10日 6 条评论

这几天物理学界的最大新闻莫过于大亚湾核电站的中微子振荡实验。从去年年底开始中微子就一直占着各种科学新闻的头条,而且总是跟天然呆的意大利人有关(Majorana也是⋯⋯),直到天朝出来抢镜。作者也感到可以借一把势头,来继续吹Leo Kouwenhoven的实验工作,美其名曰固体中的中微子。

Leo Kouwenhoven的实验基于Lutchyn, Sau和Das Sarma于2010年提出的方案:把一根半导体量子线放在一块s波超导体上,通过邻近效应在量子线中诱导出p波配对。然后加上一个平行于量子线的塞曼磁场来破坏时间反演。实验上能够调节的参数是磁场的强度和半导体线中的费米能。后者是由一系列靠近量子线的电压门(voltage gate)来控制。当这两个参数满足一定的条件,量子线的两端就会出现零能量的Majorana费米子(准确的说,是一个Majorana零模)。下图是Kouwenhoven实验装置的一个示意图。

这个方案听起来相当直截了当,但是实际实现时有不少技术上的困难。我们简单讨论一下最令实验家头疼的一个问题。前面提到材料中的费米能和塞曼能必须满足一定的条件,才会在量子线两端出现Majorana费米子。因此我们必须能够控制材料中的化学势。在没有超导体的时候,这完全不是一个问题,加上一个电压,想怎么调就怎么调。但是有超导体就不一样了:金属超导材料通常有很高的电子密度,会对电磁场有强烈的屏蔽效应,可想而知调电压不再是件容易的事了。对此实验家们并没有太好的解决方案。Kouwenhevon的方法是仅仅把半导体线的一半搭在超导体上,而把控制的电压的装置搭在另一半边,这样能在一定程度上减少屏蔽效应。

现在万事具备,只待测量了。另一个问题来了:测什么好呢?大家都知道做人要低调,不要想着一口吃成胖子,因此我们一步一步来。Majorana zero mode,这三个词里有两个是形容词,确认这两个形容词描述的特点就是我们的目标。相对而言,”Majorana”这个特性有一点晦涩,解释起来已然不易,不用说要在实验上测量。”zero energy”对实验家来说倒是不陌生,有多种手段可以探测不同能量区间上的态密度。对于量子线体系,最自然的方法就是测量隧穿微分电导电导(dI/dV )。直观的说,我们可以想象把一个探针靠近量子线的一头,然后看看探针上的电子能不能跑到量子线里面去形成电流(我们需要假设探头和超导之间有个很大的势垒)。假如是普通的超导体,在探针电压很低的时候是不会出现隧穿电流的,原因是超导体有能隙,根据能量守恒,只有当探针电压超过超导能隙的时候才能让电子跑过去。但是假如有零能量的态,结果就完全不一样了:电子可以跑到这个零能态上,因而即便探针上不加电压,理论上也会有非零的隧穿电导,专门有个名字,叫“zero-bias conductance peak”,简写为ZBCP. 这是一个非常简单直接的测量,因此Leo Kouwenhoven第一步就是要看看有没有ZBCP。

需要指出的是,ZBCP可以说是Majorana零模的一个必要条件,但是不充分。在量子线中可能会有其它低能的束缚态(全部叫做Andreev bound states),假如正好非常靠近零能的话也会形成ZBCP。不过这些态的能量通常都依赖于系统的一些参数。例如大部分情况下,它们的能量会随着Zeeman场变化。因此原则上我们还是能够把Majorana零能态和普通的低能束缚态区分开来的。

尽管作者在报告现场看到了Leo展示他的实验数据,但是这一结果目前还没发表。该报告人山人海,作者费了姚明打奥胖的劲才挤进去在最后面占了一个位,也别指望能拍到什么清楚的照片。因此就给大家看一张理论计算的图,算是画饼充饥(图取自Stanescu et. al., Phys. Rev. B 84, 144522(2011)):

总结一下Leo Kouwenhoven看到的实验现象:当磁场增大到一定范围,ZBCP出现。随后当磁场继续增大到另一个阀值,ZBCP开始消失,两旁出现很小的峰,并逐渐分离开,也有人描述说ZBCP分裂为两个小一点的峰。此外,调节一下化学势,发现ZBCP在一定范围内都是存在的。因此,实验上看到了一个稳定的ZBCP。

Kouwenhoven还报告了另一个有趣的现象:假如转动磁场的方向,在某些特定的角度ZBCP就消失了。这也和理论的预期吻合。一个粗略的解释是,这里面零能态的出现非常依赖于量子线中的自旋轨道耦合。因而不难想象磁场方向改变,ZBCP也会跟着改变。事实上,只有垂直于自旋轨道耦合自旋方向的磁场才是“有效”的。考虑磁场和自旋轨道耦合平行的特殊情况,整个体系退化为一个普通超导体,ZBCP就跟着没了。

Kouwenhoven报告完之后,各路围观群众自然开始讨论这个结果。Kouwenhoven本人十分乐观,报告的总结是”Have we seen Majorana fermions? I’d say it’s a cautious yes”。不管cautious不cautious,总之是yes。但有不少人还是持怀疑态度,认为Leo Kouwenhoven有点瞎猫碰到死老鼠的感觉。这些争辩肯定要继续一段时间,直到进一步的实验确认(或证否)。作者的看法是,Majorana零模是对Kouwenhoven看到的实验现象最简单最自然的解释,根据奥卡姆剃刀原理,它就是正确的解释。因此作者显然是无可救药的乐观派。但不管怎么样,那些做Majorana费米子的凝聚态理论家都暗暗松了一口气:下面至少四五年的funding,应该都没有问题了罢⋯⋯

那么假如更仔细的测量能够确认ZBCP,下一步就是要去解决第一个定语:Majorana。这方面展开来涉及很多技术细节,作者已经没精神再写了。做一回名词党,列名词如下:(1) 分数Josephson效应 (2) 干涉实验(本质上是检测Majorana费米子的量子统计性质)。

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