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数列极限题之后续

2011年01月26日发表评论 Go to comments

在之前一篇post里我讨论了一个数列极限问题，题目如下：设有数列 $a_n, b_n$ 满足

$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}$ .

研究 $a_n/b_n$ 的极限。题目本身不难，很容易证明极限存在并且为1。比较值得注意的是这个数列收敛速度非常快（可以估计出数列是以指数的指数这样的速度收敛的）。这个题目看起来像一个普通的高等数学练习，但实际上背景很不简单：历史上最早研究这个问题的是Gauss。可以想象，能引起了Gauss兴趣的问题必定不是泛泛。Gauss问的是：给定初始值 $a_0=a, b_0=b$ , 极限 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ 是多少？他特别考虑了 $a=1, b=\sqrt{2}$ 的情形。记 $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=M(a, b)$ . Gauss证明了下面的结论：

$\displaystyle \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})}=\int_0^1\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^4}}$

事实上，有如下更一般的结论：

$\displaystyle \frac{\pi}{2M(1,y)}=K(\sqrt{y^2-1})$

也即 $M(a, b)$ 可以用椭圆积分来表示！ $K(k)$ 是所谓的第一类完全椭圆积分：

$\displaystyle K(k)= \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}=\int_0^1 \frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}$

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