数列极限问题一则

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数列极限问题一则

2010年09月15日发表评论 Go to comments

在百合数学版上看到的，问题如下：设有数列 $a_n, b_n$ 满足
$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}$ .
研究 $a_n/b_n$ 的极限。

显然的答案是 $\lim_{n\rightarrow \infty}b_n/a_n=1$ 。证明如下：令 $x_n=b_n/a_n$ ，那么显然有
$\displaystyle x_{n+1}=\frac{2\sqrt{x_n}}{x_n+1}$
由于 $2\sqrt{x_n}\le x_n+1$ ，所以 $x_n\le 1$ 对于所有 $n>1$ 成立。此外也很容易证明 $x_{n+1}>x_n$ 。因此这是一个有界递增数列，这就证明了数列 $\{x_n\}$ 必有极限。这个极限的数值必为方程 $x=2\sqrt{x}/(x+1)$ 的根，因此可以确定极限为1。

为了估计收敛速度，我们研究 $1-x_n$ 。
$\displaystyle 1-x_{n+1}=\frac{(1-\sqrt{x_n})^2}{1+x_n}$
$\displaystyle 1-\sqrt{x_{n+1}}=\frac{(1-\sqrt{x_n})^2}{(1+\sqrt{x_{n+1}})(1+x_n)}<(1-\sqrt{x_n})^2$
由最后一式得到 $1-\sqrt{x_n}$ 至少是按照 $e^{-C 2^n}$ 来衰减的， $C$ 是一个正常数。